على مدى التاريخ ارتبطت الرياضيات بالعلم ، و المنطق باللغة اليونانية ، و كلاهما تطور فأصبح المنطق رياضياً و الرياضة منطقية .. أو في الواقع أن الاثنين شيء واحد .. هذه النظرة لا ينكرها الا إثنان :
المناطقة الدارسين للنصوص القديمة حتى عجزوا عن تتبع الاستدلال الرمزي ..
أو الرياضيون أصحاب الصبغة الفنية دون أن يجهدوا أنفسهم في البحث عن المعنى ..
[button color="blue" size="small" link="http://festyy.com/weaKTE" icon="fa fa-file-pdf-o fa-2x" target="true" nofollow="false"]تحميل[/button] [button color="blue" size="small" link="http://festyy.com/weaKJO" icon="fa fa-file-pdf-o fa-2x" target="true" nofollow="false"]تحميل[/button] [button color="red" size="small" link="http://festyy.com/weaK9E" icon="fa fa-book fa-2x" target="true" nofollow="false"]قراءة أونلاين[/button]
لقد أصبح محيط المنطق الحديث كثيراً ما يعتمد على المنطق الرمزي و الصوري حتى أصبح المنطق و الرياضيات متطابقان ..
فالبحديث عن العدد الاصلي نصل إلى تعميم التصور عن العدد ثم تحليل هذه التصورات الداخلية ، فنجد أنفسنا نبحث في أساسيات المنطق التي تدرس التركيب ..
و هنا التصورات و القضايا في التركيب أصعب بكثير من تصورها لأنها تتمثل في المعرفة ، أي في حدودها الحاضرة التي لا يزال ما وراءها غير معروف ، و لا يزال ميدان المعرفة القائم عليها غير آمن ..
لقد عُرفت الرياضيات بعلم ” الكم ” و هذا اللفظ مبهم و يستدل عليه بلفظ ” العدد ” ..
و أن القول بأن علم الرياضيات هو علم العدد غير صادق .. لعدة أسباب أهمها تفرع الرياضيات ..
و لتكن الخصائص هنا معينة لدراسة سلوك المنطق في الرياضيات فقط ..
في الحقيقة أننا لا نبحث عن الأشياء الجزئية بل نبحث صورياً في ما يمكن أن يقال عن أي شيء ..
كالقول بأن واحد و واحد إثنان .. ليس لأن سقراط و أفلاطون إثنان ..
لأن في حدود الرياضيات لا يوجد سقراط و أفلاطون ..
أي أن العالم الذي يخلو من مثل هذا الشخصين لا يزال عالماً فيه واحد و واحد إثنان ..
وليس رياضياً أو منطقياً يجب ذكر أي شيء بتاتاً ، لأننا إذا فعلنا ذلك أدخلنا شيء غريباً غير الصورة ..
و لتوضيح ذلك نطبق حالة القياس :
فالمنطق التقليدي يقول ( كل الناس فانون ، و سقراط إنسان ، إذن سقراط فان ) ..
هنا ليس المطلوب إثبات أن المقدمتين يلزم عنها النتيجة .. لأنه واضح أن المقدمتين و النتيجة صادقة بالفعل ..
و لنذكر هنا [ أن المنطق التقليدي الصدق الفعلي يُشير إلى المقدمات فقط ]..
و لنرى بعد إجراء التعديل عليه بهذه الصيغة ( إذا كان كل الناس فانين ، و كان سقراط إنساناً ، إذن سقراط فان ) ..
فلننظر للفرق في الحجة بالنسبة للتقليدي و بعد إجراء التعديل ..
بعد التعديل الحجة صحيحة بمقتضى صورتها ، لا بمقتضى الحدود الجزئية الواردة فيها ..
و لو حذفنا ” سقراط إنسان ” من المقدمة تبقى لدينا الحجة لا صورية ، و لكن نقبلها بسبب أن سقراط إنسان بالفعل ..
و في هذه الحالة لم يكن تعميم الحجة الا عندما ذكرنا أن تكون صورية ، فلا شيء يعتمد على الحدود فيها ..
و لذلك نستطيع هنا أن نضع ( أ ) بدلاً من الناس ، وَ ( ب ) بدلاً من فانون ، وَ ( س ) بدلاً من سقراط .. حيث أ ، ب أي فصلين إتفاقاً .. وَ س أي فرد .. نصل إلى الصيغة ( مهما تكن القيم التي تأخذ أ، ب ، س .. فإذا كانت جميع الالفات باءات ، و كان س أحدهما ، إذاً س أحد ب ،، صادقة دائماً ) ..
و هنا الاستدلال الصوري ما نقصده حيث نصل إلى صيغ صادقة دائماً ، لا يُذكر فيها أشياء أو خواص فعلية .. و يكون إثبات حالة جزئية بينما يمكن إثباته عموماً .. و قد يكون من المضحكــ أن نسير في حجة طويلة عن سقراط و بمثلها عن أفلاطون …
و بالمثل جميع القضايا تبقى صحيحة بصحة الشرط .. كقضية ( سقراط قبل أرسطو )
.. كقضية حدية ..
وهنا لابد من ذكر نقطة ( التعبير عن الصور الجزئية من القضايا ) .. أي أن تكون ( دوال الصدق ) ..
فإختلاف الالفاظ بين ( سقراط قبل أرسطو ) وَ ( سقراط يسبق أرسطو ) ..
اختلفت الالفاظ ، حيث أن الصورة بُنيت بشكل أخر .. فالقضية هي عين القضية .. و ليس هذا ما نعنيه لأن هنا علاقة بين حدين .. ( بين سقراط و أرسطو و قبل ) .. و تمثل هذه الصورة لمثل هذه القضايا بالرمز ( س ع ص ) .. و تقرأ ( س له علاقة عين مع ص ) ..
هذه الصورة العامة قد تُرد في القضايا المنطقية .. و لا يمكن أن نحصل على أي حالة جزئية منها ..
و لأن ترتيب الألفاظ يمكن أن يصنع مُعظم ما هو مطلوب ..
و لكن الصورة هنا موضع القضية عامة ، حتى عندما لا يدل أي لفظ أو رمز في تلك القضية على الصورة ..
و أن نتكلم عن الرياضيات فجميع القضايا التي لها صور نجد أن لا غنى عن لفظ الصورة .. و نظرياً أن اللفظ لا غنى عنه أبداً ..
لنرى هل يمكن أن نستنتج الصور العامة نفسها من ” مكونات ” في مثل هذه القضايا ..؟؟
هنا ننتقل من الصوري إلى الرمزي :
إذا علمنا أن قضية مثل ( سقراط قبل أرسطو ) هنا يوجد مكونات معينة و كذلك صور معينة .. و لكن الصورة نفسها ليست مكوناً ..
ولو كانت كذلك لاحتجنا صورة جديدة تضم كلاً من هذه الصورة و المكونات الاخرى ..
لكن نستطيع في الواقع أن نجمع المكونات في قضية إلى ” متغيرات ” .. مع الاحتفاظ بالصورة دون تغيير ..
وهذا ما نستخدمه في العلاقة ( س ع ص ) .. نرمز لأي قضية من فصل معين من القضايا ، و هي التي تثبت علاقة بين حدين .. ومن ثم ننتقل لأحكام عامة مثل ( س ع ص ، صادقة أحياناً ) .. أي أن هناك حالات تصح فيها العلاقة الثنائية ..
و هذا الحكم ينتمي إلى المنطق أو الرياضة بمعنى نستخدم فيه اللفظ و لكن في الحكم لا نذكر أي أشياء جزئية أو علاقات جزئية ..
لان مثل هذه القضايا المنطقية بحته ( و نترك مع الصورة البحته إعتبار أنها هي المكونات الممكنة للقضايا المنطقية ) ..
و طريقة الترتيب تُبين أن شيئاً صادق على جميع الاحوال أو بعض قيم المتغيرات ..
و لسنا هنا في حاجة إلى معرفة أي الألفاظ ، لأن ما نحتاج إليه فقط إعطاء قيم للمتغيرات ..
و هذه مهمة الرياضي التطبيقي لا الرياضي البحت ..
و لذلك يقول راسل ( الرياضيات البحته :،هي العلم الذي لا نعرف فيه قط عم نتحدث و لا إذا كان ما نقوله فيها صادقاً ) .. لأن هذا عمل الرياضي التطبيقي ..
و لكن مع هذا كله هناك ألفاظ تُعبر عن الصورة .. أي أن هناك رموز لها معانِ صورية ثابتة .. مثل رمز ( عدم الاتفاق ) الذي يستخدم في بناء دوال الصدق ..
مثل هذه الالفاظ أو الرموز تُرد في المنطق و لكن كيف نعرفها ..؟؟
مثل هذه الألفاظ أو الرموز تعبر عما يسمى ( الثوابت المنطقية ) ..
و تُعرف بالمثل كما عرفنا الصور .. ( بمعنى أنها واقعة في جوهر الشيء نفسه ) ..
و الثابت المنطقي يجمع عدد من القضايا ، و أي واحدة منها يمكن أن ينتج من أي واحدة أخرى … و ذلك بإستبدال الحدود ..
مثل :
ليكن لدينا القضيتين : ( نابليون أعظم من ولنغتون ) ينتج من ( سقراط أسبق من أرسطو ) ..
أي بإستبدال : نابليون بسقراط ، و ولنغتون بأرسطو ، و أعظم بأسبق ..
حصلنا على سقراط أسبق من أرسطو .. و التي على الصورة ( س ع ص ) .. أي تعبر عن علاقة ثنائية ..
و بعض القضايا لا يمكن الحصول عليها من النموذج السابق .. بإستبدال حد بحد ..
مثل قضايا .. ( سقراط إنساني ) و ( أعطى الأثينيون السم سقراط ) ..
و ذلك لأن القضية الأولى من صورة الموضوع و المحمول ..
و الثانية تعبر عن علاقة ثلاثية الحدود ..
و الثوابت المنطقية إما أن تكون دائمة ، أو مشتقة من ما يضم مجموعة من القضايا يُشتق بعضها من بعض ..
و بهذا المعنى للمنطق الصوري و الرمزي في الرياضيات البحته جميع الثوابت منطقية .. فالعدد مثلاً مشتق من قضايا الصورة ..
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق